1. Suppose
$A \left[\matrix{5 \cr 6}\right] = \left[\matrix{5 \cr 13}\right]$,
$A \left[\matrix{3 \cr 5}\right] = \left[\matrix{9 \cr 15}\right]$,
$A \left[\matrix{-1 \cr 3}\right] = \left[\matrix{17 \cr
19}\right]$,
$A \left[\matrix{2 \cr 1}\right] = \left[\matrix{-4 \cr -2}\right]$
State the 2 eigenvalues of $A$: 3, -2
State 5 eigenvectors of $A: \left[\matrix{3 \cr 5}\right]$,
$ \left[\matrix{6 \cr 10}\right]$,
$ \left[\matrix{9 \cr 15}\right]$,
$ \left[\matrix{2 \cr 1}\right]$,
$ \left[\matrix{4 \cr 2}\right]$, ...
Observation:
$A \left[\matrix{5 \cr 6}\right]$
$= A \left( \left[\matrix{3 \cr 5}\right] + \left[\matrix{2 \cr 1}\right]\right)$
$= A \left[\matrix{3 \cr 5}\right] + A \left[\matrix{2 \cr 1}\right]$
$= 3 \left[\matrix{3 \cr 5}\right] - 2 \left[\matrix{2 \cr 1}\right]$
$= \left[\matrix{5 \cr 13}\right]$
$A \left[\matrix{-1 \cr 3}\right]$
$= A \left( \left[\matrix{3 \cr 5}\right] - 2 \left[\matrix{2 \cr 1}\right]\right)$
$= A \left[\matrix{3 \cr 5}\right] -2 A \left[\matrix{2 \cr 1}\right]$
$= 3 \left[\matrix{3 \cr 5}\right] + 4 \left[\matrix{2 \cr 1}\right]$
$= \left[\matrix{17 \cr 19}\right]$